【向量叉乘的公式】在三维几何与物理中，向量叉乘（Cross Product）是一种重要的运算方式，常用于计算两个向量之间的垂直向量、面积、力矩等。它不仅具有数学上的意义，也在工程学、物理学和计算机图形学中有广泛应用。

一、向量叉乘的基本概念

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃) 是两个三维空间中的向量，它们的叉乘结果是一个新的向量 c = a × b，该向量满足以下性质：

- 方向：垂直于 a 和 b 所组成的平面；

- 大小：等于 absinθ，其中 θ 是 a 和 b 的夹角；

- 右手定则：根据右手螺旋法则判断方向。

二、向量叉乘的公式

向量叉乘的公式可以表示为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成分量形式：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、向量叉乘的性质总结

四、应用举例

假设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

$$

即：a × b = (-3, 6, -3)

通过上述内容可以看出，向量叉乘是线性代数中的一个重要工具，掌握其公式与性质有助于理解更多复杂的物理和数学问题。

以上就是【向量叉乘的公式】相关内容，希望对您有所帮助。