在数学中，数列是一个非常重要的概念，而求数列的通项公式则是解决数列问题的关键步骤之一。其中，“累加法”是一种常见的方法，尤其适用于形如$a_n - a_{n-1} = f(n)$的递推关系式。本文将详细介绍如何利用累加法求解数列的通项公式，并通过实例加深理解。
一、累加法的基本原理
累加法的核心思想是将递推关系中的每一项相加起来，从而得到一个简洁明了的结果。假设我们有一个数列$\{a_n\}$，满足递推关系：
$$
a_n - a_{n-1} = f(n),
$$
其中$f(n)$是一个已知函数。为了求出通项公式$a_n$，我们可以从初始条件$a_1$开始，逐步累加到$n$，即：
$$
a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n f(k).
$$
这种方法的优点在于它能够将复杂的递推关系转化为简单的求和问题。
二、具体步骤与例题解析
例1：求数列$\{a_n\}$的通项公式
已知数列$\{a_n\}$满足递推关系：
$$
a_n - a_{n-1} = 2n, \quad n \geq 2,
$$
且$a_1 = 1$。试求通项公式$a_n$。
解答：
根据累加法的基本原理，我们将递推关系展开为：
$$
a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n (2k).
$$
注意到$\sum_{k=2}^n (2k)$可以分解为：
$$
\sum_{k=2}^n (2k) = 2 \cdot \sum_{k=2}^n k.
$$
利用等差数列求和公式$\sum_{k=1}^m k = \frac{m(m+1)}{2}$，我们有：
$$
\sum_{k=2}^n k = \left(\sum_{k=1}^n k\right) - 1 = \frac{n(n+1)}{2} - 1.
$$
因此：
$$
\sum_{k=2}^n (2k) = 2 \cdot \left[\frac{n(n+1)}{2} - 1\right] = n(n+1) - 2.
$$
代入$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n (2k)$，结合$a_1 = 1$，最终得到：
$$
a_n = 1 + n(n+1) - 2 = n^2 + n - 1.
$$
所以，数列$\{a_n\}$的通项公式为：
$$
a_n = n^2 + n - 1.
$$
例2：求数列$\{b_n\}$的通项公式
已知数列$\{b_n\}$满足递推关系：
$$
b_n - b_{n-1} = \frac{1}{n}, \quad n \geq 2,
$$
且$b_1 = 0$。试求通项公式$b_n$。
解答：
同样利用累加法，我们有：
$$
b_n = b_1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}.
$$
注意到$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}$是调和级数的一部分，因此：
$$
b_n = 0 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} = H_n - 1,
$$
其中$H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$表示前$n$项的调和数。因此，数列$\{b_n\}$的通项公式为：
$$
b_n = H_n - 1.
$$
三、总结
累加法是一种直观且有效的求数列通项公式的工具，特别适合处理形如$a_n - a_{n-1} = f(n)$的递推关系。通过上述例题可以看出，关键在于正确地分解递推关系并灵活运用求和技巧。希望读者通过本文的学习，能够熟练掌握累加法的应用，并将其应用于更多实际问题中。
练习题：
1. 已知数列$\{c_n\}$满足$c_n - c_{n-1} = 3^n$，且$c_1 = 1$，求$c_n$。
2. 已知数列$\{d_n\}$满足$d_n - d_{n-1} = \sin(n)$，且$d_1 = 0$，求$d_n$。
以上内容旨在帮助读者深入理解累加法的本质及其应用，希望能对大家有所帮助！
