在高等数学的学习过程中，极限是一个非常重要的概念，它是微积分的基础。掌握好极限的计算方法和技巧，对于理解后续的导数、积分等内容至关重要。为了帮助大家更好地理解和运用极限知识，下面提供了一些常见的极限练习题及其详细解答。

例1：求解 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)

解析：这是一个经典的极限问题。当 \(x\) 趋近于 0 时，\(\sin x\) 的值也趋近于 0，但分子分母均为 0 的形式需要我们使用洛必达法则或泰勒展开来解决。利用泰勒公式，我们可以将 \(\sin x\) 表示为 \(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\)，因此有：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) = 1

\]

所以，该极限的答案是 1。

例2：求解 \(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x\)

解析：这个极限涉及到指数函数的形式，通常可以通过取对数的方式简化。令 \(y = (1 + \frac{1}{x})^x\)，则 \(\ln y = x \ln(1 + \frac{1}{x})\)。当 \(x\) 趋近于无穷大时，\(\ln(1 + \frac{1}{x})\) 可以近似为 \(\frac{1}{x}\)，因此：

\[

\ln y \approx x \cdot \frac{1}{x} = 1

\]

从而 \(y = e^1 = e\)。所以，该极限的答案是 \(e\)。

以上只是两个简单的例子，实际应用中可能还会遇到更加复杂的极限问题。希望这些解答能够帮助大家巩固对极限的理解，并提高解决问题的能力。继续努力学习吧！