【预付年金终值公式推导过程】在财务管理和投资分析中，年金是一种重要的资金流动形式。根据支付时间的不同，年金可以分为普通年金（后付年金）和预付年金（先付年金）。预付年金是指每期的款项在期初支付，而普通年金则是期末支付。由于支付时间的不同，两者的终值计算方式也存在差异。
本文将对预付年金的终值公式进行详细推导，并以加表格的形式展示其计算逻辑与结果。
一、基本概念
- 预付年金：每期支付发生在期初。
- 终值（FV）：指在一定时间内，按复利计算的资金总额。
- 利率（i）：每期的利率。
- 期数（n）：支付的总次数。
二、预付年金终值公式推导
假设每期支付金额为 $ A $，利率为 $ i $，共支付 $ n $ 期，且每次支付均发生在期初。
1. 每笔支付的终值计算
第一笔支付发生在第0期，到第n期结束时，它经历了 $ n $ 个时期的复利增长：
$$
A \times (1 + i)^n
$$
第二笔支付发生在第1期，到第n期结束时，它经历了 $ n - 1 $ 个时期的复利增长：
$$
A \times (1 + i)^{n - 1}
$$
以此类推，直到第 $ n $ 期支付，只经历0个时期，即：
$$
A \times (1 + i)^0 = A
$$
因此，所有支付的终值之和为：
$$
FV_{\text{预付}} = A \times \left[ (1 + i)^n + (1 + i)^{n - 1} + \cdots + (1 + i)^1 + (1 + i)^0 \right
$$
这是一个等比数列求和问题，首项为 $ (1 + i)^0 = 1 $，公比为 $ (1 + i) $，项数为 $ n $。
根据等比数列求和公式：
$$
S_n = \frac{(1 + i)^n - 1}{i}
$$
因此，预付年金的终值公式为：
$$
FV_{\text{预付}} = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i} \times (1 + i)
$$
三、
预付年金的终值计算需要考虑每笔支付在期初发生，因此每一笔支付都会比普通年金多一个复利周期。通过将普通年金的终值公式乘以 $ (1 + i) $，即可得到预付年金的终值公式。该公式能够准确反映资金在不同支付时间下的增长情况。
四、表格展示
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 预付年金终值公式 | $ FV_{\text{预付}} = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i} \times (1 + i) $ | $ A $ 为每期支付金额，$ i $ 为每期利率，$ n $ 为期数 |
| 普通年金终值公式 | $ FV_{\text{普通}} = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i} $ | 每期支付在期末，无额外复利周期 |
| 预付与普通年金关系 | $ FV_{\text{预付}} = FV_{\text{普通}} \times (1 + i) $ | 预付年金相当于普通年金再增加一个复利周期 |
五、结语
通过对预付年金终值的推导，我们明确了其与普通年金之间的区别。掌握这一公式对于进行长期投资、贷款还款计划等财务决策具有重要意义。理解并灵活运用这些公式，有助于提高财务管理的科学性和准确性。
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