【定比分点公式及推导】在解析几何中，定比分点是一个重要的概念，常用于确定一条线段上某一点相对于两个端点的位置关系。通过定比分点公式，我们可以根据给定的比例求出该点的坐标，也可以反向求出比例。以下是对定比分点公式的总结与推导过程。
一、定比分点定义
设线段 $ AB $ 的两个端点为 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，若存在一点 $ P(x, y) $ 在线段 $ AB $ 上，并且满足：
$$
\frac{AP}{PB} = \lambda
$$
则称点 $ P $ 是线段 $ AB $ 的一个定比分点，其中 $ \lambda $ 为定比。
注意：当 $ \lambda > 0 $ 时，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 内；当 $ \lambda < 0 $ 时，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的延长线上。
二、定比分点公式
根据定比分点的定义，点 $ P $ 的坐标可由以下公式计算：
$$
x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}
$$
其中 $ \lambda \neq -1 $，否则分母为零，无意义。
三、公式推导过程
假设点 $ P $ 分线段 $ AB $ 所成的比为 $ \lambda = \frac{AP}{PB} $，即：
$$
\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}
$$
将向量表示为坐标形式：
$$
(x - x_1, y - y_1) = \lambda (x_2 - x, y_2 - y)
$$
分别对横纵坐标进行分解：
$$
x - x_1 = \lambda (x_2 - x) \\
y - y_1 = \lambda (y_2 - y)
$$
整理得：
$$
x + \lambda x = x_1 + \lambda x_2 \Rightarrow x(1 + \lambda) = x_1 + \lambda x_2 \Rightarrow x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}
$$
同理可得：
$$
y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}
$$
四、总结对比表
| 内容 | 说明 |
| 定比分点定义 | 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上，满足 $ \frac{AP}{PB} = \lambda $ |
| 公式表达 | $ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} $，$ y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} $ |
| 公式适用条件 | $ \lambda \neq -1 $ |
| 推导方法 | 向量法或代数法，基于比例关系推导坐标表达式 |
| 应用场景 | 几何作图、坐标变换、参数化问题等 |
五、注意事项
- 当 $ \lambda = 1 $ 时，点 $ P $ 为线段 $ AB $ 的中点，此时公式简化为中点公式。
- 若 $ \lambda = 0 $，则点 $ P $ 与点 $ A $ 重合。
- 若 $ \lambda \to \infty $，则点 $ P $ 趋近于点 $ B $。
通过上述内容可以看出，定比分点公式是解析几何中一个基础而实用的工具，掌握其推导过程有助于理解坐标系中的比例关系和向量运算。
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