【二阶常系数非齐次线性微分方程】在微分方程的学习中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。这类方程通常具有形式：
$$
y'' + py' + qy = g(x)
$$
其中 $ p $ 和 $ q $ 是常数，$ g(x) $ 是关于 $ x $ 的函数，且不为零。这类方程的解法主要包括两个部分：求对应的齐次方程的通解，以及寻找一个特解。
一、基本概念总结
| 内容 | 解释 |
| 二阶常系数非齐次线性微分方程 | 形如 $ y'' + py' + qy = g(x) $ 的方程，其中 $ p, q $ 为常数，$ g(x) \neq 0 $ |
| 齐次方程 | 当 $ g(x) = 0 $ 时，方程变为 $ y'' + py' + qy = 0 $ |
| 通解 | 齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解 |
| 特解 | 非齐次方程的一个特定解，用于补全通解 |
二、解法步骤
1. 求解对应的齐次方程
求解特征方程：
$$
r^2 + pr + q = 0
$$
根据判别式 $ D = p^2 - 4q $ 的不同情况，得到不同的通解形式。
2. 确定非齐次项的形式
根据 $ g(x) $ 的类型（如多项式、指数函数、正弦或余弦函数等），选择适当的特解形式。
3. 求特解
使用待定系数法或常数变易法求出一个特解。
4. 写出通解
将齐次方程的通解与特解相加，得到最终的通解。
三、常见非齐次项及其特解形式
| $ g(x) $ 类型 | 特解形式 | 备注 |
| 多项式 $ P_n(x) $ | $ Q_n(x) $（同次数多项式） | 若 $ 0 $ 是特征根，则乘以 $ x^k $ |
| 指数函数 $ e^{αx} $ | $ Ae^{αx} $ | 若 $ α $ 是特征根，则乘以 $ x^k $ |
| 正弦/余弦函数 $ \sin(βx), \cos(βx) $ | $ A\cos(βx) + B\sin(βx) $ | 若 $ ±iβ $ 是特征根，则乘以 $ x^k $ |
| 组合函数 $ e^{αx}(P_n(x)\cos(βx) + Q_m(x)\sin(βx)) $ | 同类型组合形式 | 根据是否为特征根调整乘数 |
四、典型例题解析
例题：解方程
$$
y'' + 2y' + y = e^{-x}
$$
解法步骤：
1. 求齐次方程的通解
特征方程为：
$$
r^2 + 2r + 1 = 0 \Rightarrow (r+1)^2 = 0
$$
所以齐次通解为：
$$
y_h = (C_1 + C_2x)e^{-x}
$$
2. 找特解
因为 $ g(x) = e^{-x} $，而 $ -1 $ 是重根，所以设特解为：
$$
y_p = Ax^2e^{-x}
$$
3. 代入求系数
计算 $ y_p' $ 和 $ y_p'' $，代入原方程，解得 $ A = \frac{1}{2} $
4. 写出通解
$$
y = y_h + y_p = (C_1 + C_2x + \frac{1}{2}x^2)e^{-x}
$$
五、小结
二阶常系数非齐次线性微分方程是数学建模和物理问题中常见的工具。掌握其解法的关键在于理解齐次方程的通解结构，并根据非齐次项的形式合理构造特解。通过系统学习和练习，可以有效提高对这类方程的理解和应用能力。
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