【超几何分布公式】在概率论与统计学中，超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在不放回抽样情况下，成功事件发生的次数。它常用于从有限总体中抽取样本时的随机事件分析，特别适用于小样本或无放回抽样的情况。
一、超几何分布的基本概念
超几何分布适用于以下场景：
- 总体中有N个元素；
- 其中K个是“成功”元素（如合格品）；
- 从中随机抽取n个元素（不放回）；
- 在这n个元素中，有k个是“成功”元素的概率。
这种情况下，k服从超几何分布。
二、超几何分布的概率质量函数
超几何分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}}{{\binom{N}{n}}}
$$
其中：
- $ N $：总体数量
- $ K $：总体中成功元素的数量
- $ n $：抽取的样本数量
- $ k $：样本中成功元素的数量
- $ \binom{a}{b} $：组合数，表示从a个元素中选b个的方式数
三、超几何分布的期望与方差
超几何分布的数学期望和方差分别为：
| 指标 | 公式 |
| 期望值 $ E(X) $ | $ n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 方差 $ Var(X) $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
其中，$ \frac{N - n}{N - 1} $ 是有限总体校正因子，说明了不放回抽样对方差的影响。
四、超几何分布与二项分布的区别
虽然两者都描述成功次数的概率分布，但它们有显著不同：
| 特征 | 超几何分布 | 二项分布 |
| 抽样方式 | 不放回 | 有放回 |
| 总体大小 | 有限 | 无限或大 |
| 成功概率 | 随样本变化 | 固定 |
| 应用场景 | 小样本、无放回 | 大样本、独立事件 |
五、实例分析
假设一个班级有30名学生，其中10人是男生，20人是女生。从中随机抽取5人，问其中有2个男生的概率是多少？
根据超几何分布公式：
- $ N = 30 $
- $ K = 10 $
- $ n = 5 $
- $ k = 2 $
计算：
$$
P(X = 2) = \frac{{\binom{10}{2} \binom{20}{3}}}{{\binom{30}{5}}}
$$
通过计算可得具体数值。
表格总结
| 项目 | 内容 |
| 分布名称 | 超几何分布 |
| 定义 | 描述不放回抽样中成功事件发生的概率分布 |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}}{{\binom{N}{n}}} $ |
| 期望值 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 方差 | $ Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
| 与二项分布区别 | 抽样方式、总体大小、成功概率、应用场景 |
通过理解超几何分布，可以更准确地分析有限总体中的随机事件，尤其在实际问题中如质量控制、抽样调查等具有重要应用价值。
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