【(完整版)二项式定理练习题】在数学学习中，二项式定理是一个非常重要且基础的工具，广泛应用于代数、组合数学以及概率论等多个领域。为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，以下是一套精心整理的“（完整版）二项式定理练习题”，涵盖了从基础到综合应用的多种题型，适合不同层次的学习者进行巩固与提升。
一、选择题
1. 展开 $(a + b)^5$ 的第三项是（ ）
A. $10a^3b^2$
B. $10a^2b^3$
C. $5a^3b^2$
D. $5a^2b^3$
2. 在 $(x + y)^{10}$ 中，含 $x^7y^3$ 的项的系数是（ ）
A. 120
B. 210
C. 100
D. 150
3. 若 $(1 + x)^n$ 的展开式中，第二项为 $6x$，则 $n = $（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4. 在 $(2x - 3)^6$ 的展开式中，常数项是（ ）
A. $-729$
B. $729$
C. $-720$
D. $720$
二、填空题
1. $(x + 2)^4$ 的展开式中，含 $x^2$ 的项是 ________。
2. 在 $(a + b)^{12}$ 中，第 5 项是 ________。
3. $(1 - x)^7$ 展开式中，所有奇数次幂的系数之和为 ________。
4. 若 $(x + 1/x)^{10}$ 的展开式中，中间项是 ________。
三、解答题
1. 求 $(x^2 - \frac{1}{x})^6$ 的展开式中，常数项是多少？
2. 已知 $(1 + x)^n$ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求 $n$ 的值。
3. 展开 $(2x + 3)^5$，并写出其中的第 3 项。
4. 求 $(1 + x)^{10} + (1 - x)^{10}$ 的展开式中，所有偶次幂项的系数和。
四、拓展题（提高难度）
1. 设 $(1 + x)^{10}$ 的展开式中，系数最大的项是哪一项？并求出其系数。
2. 证明：对于任意正整数 $n$，有 $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$。
3. 若 $(x + a)^n$ 的展开式中，第三项与第五项的系数相等，求 $a$ 的值。
4. 利用二项式定理计算 $999^5$ 的近似值（保留三位小数）。
答案与解析（节选）
1. 选择题答案：
1. A
2. B
3. B
4. A
2. 填空题答案：
1. $24x^2$
2. $792a^8b^4$
3. $-1$
4. $\binom{10}{5}x^5$ 或 $252x^5$
3. 解答题答案示例：
1. 常数项为 $-160$
2. $n = 8$
3. 第三项为 $10 \cdot (2x)^3 \cdot 3^2 = 720x^3$
4. 系数和为 $2 \times (1 + \binom{10}{2} + \binom{10}{4} + \binom{10}{6} + \binom{10}{8} + \binom{10}{10}) = 1024$
通过这些练习题，不仅可以加深对二项式定理的理解，还能锻炼学生的逻辑思维能力和计算能力。建议同学们在解题过程中多思考、多总结，逐步形成自己的解题思路和方法。
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