【二次函数练（习题）】在初中数学中，二次函数是一个重要的知识点，它不仅在考试中占有较大比重，而且在实际生活中也有广泛的应用。为了帮助同学们更好地掌握二次函数的相关知识，以下是一些精选的练习题，旨在巩固基础知识、提升解题能力。

一、选择题

1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）

A. $ y = 3x + 2 $

B. $ y = x^2 - 5 $

C. $ y = \frac{1}{x} $

D. $ y = 2x^3 $

2. 抛物线 $ y = -2x^2 + 4x - 1 $ 的开口方向是（ ）

A. 向上

B. 向下

C. 向左

D. 向右

3. 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点坐标为 $ (2, -3) $，则其对称轴为（ ）

A. $ x = -2 $

B. $ x = 2 $

C. $ x = 3 $

D. $ x = -3 $

二、填空题

1. 函数 $ y = x^2 - 6x + 8 $ 的顶点坐标是 ________。

2. 已知二次函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $，当 $ x = 1 $ 时，$ y = $ ________。

3. 若抛物线 $ y = x^2 + px + q $ 经过点 $ (1, 2) $ 和 $ (-1, 0) $，则 $ p = $ ________，$ q = $ ________。

三、解答题

1. 求抛物线 $ y = -x^2 + 4x - 3 $ 的顶点坐标，并画出大致图像。

2. 已知某二次函数的图象经过点 $ (0, 3) $、$ (1, 0) $ 和 $ (2, 3) $，求该函数的解析式。

3. 某商品的利润 $ y $（元）与销售数量 $ x $（件）之间的关系满足二次函数 $ y = -2x^2 + 20x - 30 $。

（1）求当利润最大时的销售数量；

（2）求最大利润是多少？

四、拓展题

1. 若二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与 x 轴有两个交点，且这两个交点之间的距离为 4，已知其顶点在 $ (1, -3) $，求该函数的表达式。

2. 设二次函数 $ y = x^2 + mx + n $ 的图象与 x 轴交于两点，若这两点的横坐标分别为 $ \alpha $ 和 $ \beta $，且 $ \alpha + \beta = 5 $，$ \alpha \beta = 6 $，求 $ m $ 和 $ n $ 的值。

通过这些练习题，同学们可以加深对二次函数的理解，掌握其基本性质和应用方法。建议在做题过程中多思考、多总结，逐步提高自己的数学思维能力和解题技巧。希望每位同学都能在学习中不断进步！