一、教学目标：

1. 知识与技能：

理解公因数和最大公因数的定义，掌握求两个或多个数的公因数和最大公因数的方法。

2. 过程与方法：

通过实际问题情境引导学生发现公因数的规律，培养学生的观察、分析和归纳能力。

3. 情感态度与价值观：

激发学生对数学的兴趣，增强合作学习意识，体会数学在生活中的应用价值。

二、教学重点与难点：

- 重点： 公因数和最大公因数的概念及其求法。

- 难点： 理解“最大”公因数的意义，并能灵活运用不同方法求解。

三、教学准备：

- 教师准备：PPT课件、练习题、实物道具（如小正方形卡片）。

- 学生准备：课本、练习本、铅笔、橡皮等文具。

四、教学过程：

（一）情境导入（5分钟）

教师出示一个生活情境：

> “小明家的厨房地面是一个长方形，长是12分米，宽是8分米。他想用边长为整数的正方形地砖铺满整个地面，而且不能切割地砖。你能帮他找出可能的地砖边长吗？”

引导学生思考：这些地砖的边长应该满足什么条件？

学生讨论后得出结论：地砖的边长必须是12和8的公因数。

教师顺势引入课题：“今天我们就来学习‘公因数与最大公因数’。”

（二）探究新知（15分钟）

1. 公因数的概念

- 公因数： 几个数都有的因数叫做它们的公因数。

- 举例说明：

- 12的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 12

- 8的因数有：1, 2, 4, 8

- 它们的公因数是：1, 2, 4

2. 最大公因数的概念

- 最大公因数： 在几个数的公因数中最大的那个数叫做它们的最大公因数。

- 举例说明：

- 12和8的公因数是1, 2, 4，其中最大的是4，所以12和8的最大公因数是4。

3. 求最大公因数的方法

- 列举法： 列出两个数的所有因数，再找最大的公共因数。

- 短除法（分解质因数法）：

- 把每个数分解质因数，然后取所有相同的质因数相乘，得到最大公因数。

- 例如：

- 12 = 2 × 2 × 3

- 8 = 2 × 2 × 2

- 相同的质因数是2 × 2 = 4

- 所以，12和8的最大公因数是4。

- 观察法（适用于较小数）：

- 如果其中一个数是另一个数的因数，则较大的那个数就是最大公因数。

- 例如：6和18的最大公因数是6。

（三）课堂练习（10分钟）

题目1：

找出下列各组数的公因数和最大公因数。

- 16 和 24

- 9 和 15

题目2：

判断下面的说法是否正确，并说明理由。

- “两个数的最大公因数一定比这两个数都小。”

- “1是任何自然数的公因数。”

学生独立完成，教师巡视指导，完成后集体订正。

（四）拓展提升（5分钟）

教师提出一个开放性问题：

> “如果我要用同样大小的正方形地砖铺一个长24米、宽18米的长方形场地，那么地砖的边长可能是多少？最大的边长是多少？”

引导学生结合所学知识进行分析，鼓励他们用不同的方法解决问题，培养思维灵活性。

（五）总结与反思（5分钟）

教师引导学生回顾本节课所学内容，总结以下几点：

1. 什么是公因数？什么是最大公因数？

2. 如何求两个数的最大公因数？

3. 最大公因数在生活中有哪些应用？

学生自由发言，教师补充并强调重点。

五、作业布置：

1. 完成课本第X页练习题第1～3题。

2. 自己找两组数，分别写出它们的公因数和最大公因数，并尝试用不同的方法验证结果是否一致。

六、板书设计：

```

公因数与最大公因数

1. 公因数：几个数共有的因数

2. 最大公因数：最大的公因数

3. 求法：

- 列举法

- 分解质因数法

- 短除法

4. 应用：铺地砖、分物品等

```

七、教学反思：

本节课通过生活情境引入，激发了学生的学习兴趣。在探究过程中，注重引导学生动手操作、合作交流，提升了他们的数学思维能力。但在讲解“最大公因数”的应用时，可以进一步结合更多实际案例，增强学生的理解与应用能力。