弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究物体在外部载荷作用下的应力、应变和位移分布规律。对于学习该课程的学生来说，掌握基本概念、公式推导与典型问题的解法是考试复习的关键。以下是一份针对弹性力学的重点内容整理，包含常见试题及其解析，帮助学生系统复习、巩固知识。
一、基本概念
1. 弹性力学的基本假设
弹性力学通常基于以下假设：
- 物体是连续的、均匀的、各向同性的；
- 变形是小变形；
- 材料服从胡克定律（线弹性）。
2. 应力与应变的定义
- 应力分为正应力（σ）和剪应力（τ），单位为Pa；
- 应变包括线应变（ε）和剪应变（γ）。
3. 本构方程
弹性力学中常用的本构关系是广义胡克定律，适用于各向同性材料，其表达式为：
$$
\sigma_{ij} = \lambda \varepsilon_{kk} \delta_{ij} + 2\mu \varepsilon_{ij}
$$
其中，λ 和 μ 是拉梅常数，ε_{kk} 是体积应变。
二、重点问题与解答
问题1：平面应力和平面应变有何区别？
解答：
- 平面应力：适用于薄板结构，外力作用于板面，厚度方向应力忽略不计，即 σ_z = 0。
- 平面应变：适用于长柱体结构，沿长度方向无变形，即 ε_z = 0。
两者适用条件不同，但数学形式相似，均可以简化为二维问题处理。
问题2：如何求解矩形板在均布载荷下的应力分布？
解答：
可采用圣维南原理或逆解法进行求解。
- 逆解法：假设应力函数满足平衡方程和边界条件，再代入计算应力分量。
- 圣维南原理：用于处理局部边界条件，将复杂边界转化为等效的合力和力矩。
问题3：试推导轴对称问题中的应力分量表达式。
解答：
在轴对称条件下，所有物理量仅依赖于径向坐标 r，且与角度 θ 无关。
设应力函数为 φ(r)，则应力分量为：
$$
\sigma_r = \frac{d^2 \phi}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{d \phi}{dr}, \quad \sigma_\theta = \frac{d^2 \phi}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{d \phi}{dr}
$$
$$
\tau_{r\theta} = 0
$$
问题4：简述弹性力学中的平衡方程与几何方程。
解答：
- 平衡方程：表示物体内部各点受力平衡，即：
$$
\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0
$$
- 几何方程：描述应变与位移之间的关系，如：
$$
\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)
$$
三、典型例题与解析
例题1：一个圆柱体在两端受轴向压力 P，求其轴向应变。
解：
根据胡克定律，轴向应变为：
$$
\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{P}{A E}
$$
其中 A 为横截面积，E 为弹性模量。
例题2：求解半无限大弹性体在集中力作用下的应力分布。
解：
使用布辛内斯克解，其应力分量为：
$$
\sigma_z = \frac{3P}{2\pi z^2} \cdot \frac{1}{(1 + (r/z)^2)^{5/2}}, \quad \tau_{rz} = \frac{3P}{2\pi z^2} \cdot \frac{(r/z)}{(1 + (r/z)^2)^{5/2}}
$$
四、总结
弹性力学的学习需要扎实的数学基础和对物理概念的理解。通过掌握基本方程、典型问题的解法以及常见的应力应变分析方法，可以有效应对考试中的各类题目。建议在复习过程中多做练习题，理解公式的推导过程，并结合实际工程案例加深理解。
以上内容为原创整理，适用于弹性力学课程的复习备考，旨在帮助学生全面掌握知识点，提高解题能力。
