在高中数学的学习过程中，不等式是一个重要的知识点，广泛应用于函数、数列、几何以及实际问题的建模中。掌握不等式的解法与应用，不仅有助于提升数学思维能力，还能为后续学习打下坚实的基础。本文将通过几个典型的例题，深入解析不等式的常见类型及其解题思路。
一、一元一次不等式
例题1： 解不等式 $ 2x - 5 > 3x + 1 $
解析：
首先将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边：
$$
2x - 3x > 1 + 5 \\
- x > 6
$$
两边同时乘以 -1，注意不等号方向改变：
$$
x < -6
$$
答案： $ x \in (-\infty, -6) $
二、一元二次不等式
例题2： 解不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $
解析：
首先求出对应的方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的根：
$$
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
$$
得到两个根：$ x = 1 $ 和 $ x = 3 $
由于二次函数开口向上（系数为正），图像为抛物线，因此不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $ 的解集是两根之间的区间：
$$
x \in (1, 3)
$$
三、分式不等式
例题3： 解不等式 $ \frac{x - 2}{x + 1} \geq 0 $
解析：
分式不等式需要考虑分子和分母的符号变化。首先找出使分子或分母为零的点：
- 分子为零时：$ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 $
- 分母为零时：$ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 $（此时分母为零，无意义）
接下来利用数轴标根法，将数轴分为三个区间：
- $ x < -1 $
- $ -1 < x < 2 $
- $ x > 2 $
分别判断各区间内分式的符号：
- 当 $ x < -1 $ 时，分子负，分母负，整体为正；
- 当 $ -1 < x < 2 $ 时，分子负，分母正，整体为负；
- 当 $ x > 2 $ 时，分子正，分母正，整体为正；
又因为原不等式是大于等于零，所以包括分子为零的情况（即 $ x = 2 $）。
答案： $ x \in (-\infty, -1) \cup [2, +\infty) $
四、含绝对值的不等式
例题4： 解不等式 $ |2x - 3| < 5 $
解析：
根据绝对值不等式的性质：
$$
|a| < b \Leftrightarrow -b < a < b
$$
所以：
$$
-5 < 2x - 3 < 5
$$
分别解左右两个不等式：
- 左边：$ -5 < 2x - 3 \Rightarrow -2 < 2x \Rightarrow x > -1 $
- 右边：$ 2x - 3 < 5 \Rightarrow 2x < 8 \Rightarrow x < 4 $
答案： $ x \in (-1, 4) $
五、综合应用题
例题5： 某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用原料A 2kg，原料B 1kg；每生产一件乙产品需用原料A 1kg，原料B 2kg。现有原料A不超过10kg，原料B不超过12kg。若甲产品的利润为3元/件，乙产品为4元/件，问如何安排生产可使利润最大？
解析：
设生产甲产品 $ x $ 件，乙产品 $ y $ 件，则有约束条件：
$$
\begin{cases}
2x + y \leq 10 \\
x + 2y \leq 12 \\
x \geq 0, y \geq 0
\end{cases}
$$
目标函数为利润 $ P = 3x + 4y $，求其最大值。
这是一个线性规划问题，可通过图解法或代数法求解。最终解得当 $ x = 2 $，$ y = 5 $ 时，利润最大为 $ 3 \times 2 + 4 \times 5 = 26 $ 元。
总结
不等式作为高中数学的重要内容，涉及多种类型，如一元一次、二次、分式、绝对值以及实际应用中的线性规划问题。掌握其基本解法与逻辑推理能力，对于解决复杂问题具有重要意义。希望通过对上述典型例题的分析，帮助同学们更好地理解和掌握不等式的相关知识。
