在高中数学的学习过程中，必修1是学生接触函数、集合与常用逻辑用语、基本初等函数等内容的重要阶段。为了帮助学生更好地掌握这些知识，进行系统的复习和巩固，特此设计一份“高中数学必修1综合测试题”，旨在全面检测学生的理解能力与应用水平。
本试卷涵盖集合与命题、函数的概念与性质、指数函数与对数函数、幂函数以及函数的应用等多个知识点，题型包括选择题、填空题、解答题，内容由浅入深，适合用于期中或期末复习测试。
一、选择题（每小题5分，共30分）
1. 设集合 $ A = \{x | x^2 - 4x + 3 = 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 若 $ a > b $，则 $ a^2 > b^2 $
B. 若 $ a < 0 $，则 $ a^2 > 0 $
C. 若 $ x > 1 $，则 $ x^2 > 1 $
D. 若 $ x^2 = 4 $，则 $ x = 2 $
3. 函数 $ f(x) = \log_2(x - 1) $ 的定义域是（ ）
A. $ (1, +\infty) $
B. $ [1, +\infty) $
C. $ (-\infty, 1) $
D. $ (-\infty, 1] $
4. 已知 $ f(x) = 2^x $，则 $ f(3) $ 的值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
5. 下列函数中，是偶函数的是（ ）
A. $ f(x) = x^3 $
B. $ f(x) = x^2 + 1 $
C. $ f(x) = x + 1 $
D. $ f(x) = \sqrt{x} $
6. 若 $ \log_3 9 = x $，则 $ x $ 的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（每小题5分，共20分）
7. 集合 $ \{1, 2, 3\} $ 的子集个数为________。
8. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x - 2} $ 的定义域是________。
9. 若 $ \log_a 8 = 3 $，则 $ a = $ ________。
10. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ 的最小值为________。
三、解答题（共50分）
11. （10分）设全集 $ U = \mathbb{R} $，集合 $ A = \{x | x^2 - 5x + 6 = 0\} $，集合 $ B = \{x | x < 3\} $，求 $ A \cap B $ 和 $ A \cup B $。
12. （10分）已知函数 $ f(x) = 2^{x} $，求：
（1）$ f(0) $；
（2）若 $ f(a) = 8 $，求 $ a $ 的值。
13. （15分）已知函数 $ f(x) = \log_2(x + 1) $。
（1）求该函数的定义域；
（2）判断该函数的单调性；
（3）若 $ f(x) = 3 $，求 $ x $ 的值。
14. （15分）某商品的售价 $ y $（元）与销量 $ x $（件）之间的关系满足 $ y = 100 - 2x $，其中 $ x \in [0, 50] $。
（1）写出利润 $ P $ 与销量 $ x $ 的关系式（假设成本为 50 元/件）；
（2）求当 $ x $ 为何值时，利润最大，并求出最大利润。
参考答案（供教师使用）
一、选择题
1. C2. B3. A4. B5. B6. B
二、填空题
7. 88. $ x \neq 2 $ 或 $ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $9. 210. 1
三、解答题
11. $ A = \{2, 3\} $，$ A \cap B = \{2\} $，$ A \cup B = \{x | x < 3\} \cup \{3\} $
12. （1）$ f(0) = 1 $；（2）$ a = 3 $
13. （1）定义域为 $ x > -1 $；（2）在定义域内单调递增；（3）$ x = 7 $
14. （1）利润 $ P = (100 - 2x)x - 50x = -2x^2 + 50x $；（2）当 $ x = 12.5 $ 时，利润最大，最大利润为 312.5 元。
通过这份综合测试题，学生可以系统地回顾高中数学必修1中的重点内容，提升解题能力和逻辑思维水平。建议在考试前认真练习并加以总结，以达到最佳的学习效果。
