在数学领域中，不等式是一种非常重要的工具，它广泛应用于各种问题的求解和理论证明之中。不等式的种类繁多，其中一些是数学研究中的基础性成果，另一些则是在实际应用中总结出来的经验规律。掌握这些常用的不等式，不仅能够帮助我们更好地理解数学的本质，还能提高解决问题的能力。

首先，我们来谈谈算术-几何平均不等式（AM-GM Inequality）。该不等式指出，对于任意非负实数a₁, a₂, ..., aₙ，它们的算术平均值总是大于或等于它们的几何平均值。即：

\[ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \]

当且仅当所有数都相等时等号成立。这一不等式在优化问题、概率论等领域有着广泛的应用。

接下来是柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），它适用于向量空间中的内积运算。对于两个向量u = (u₁, u₂, ..., uₙ)和v = (v₁, v₂, ..., vₙ)，有：

\[ |u·v| ≤ ||u|| · ||v|| \]

这里，u·v表示u与v的点积，而||u||和||v||分别表示u和v的范数。这个不等式在解析几何、线性代数以及物理学中有重要地位。

再来看赫尔德不等式（Hölder's Inequality），它是对柯西-施瓦茨不等式的推广。设p > 1且q满足1/p + 1/q = 1，则对于函数f和g有：

\[ \int |fg| dx \leq (\int |f|^p dx)^{1/p} (\int |g|^q dx)^{1/q} \]

此不等式在泛函分析中起着关键作用。

此外，还有杨氏不等式（Young's Inequality）和米塔格-勒夫勒不等式（Minkowski's Inequality）等，这些都是处理积分、级数等问题时不可或缺的利器。

总之，熟悉并灵活运用这些常用的不等式，可以让我们在面对复杂的数学问题时更加得心应手。同时，这些不等式也反映了数学中的某些基本原理和结构特征，值得深入探讨和学习。