在数学领域中，复变函数是一门研究复数变量函数的学科。它不仅继承了实变函数的许多特性，还展现出独特的魅力和复杂性。复变函数的研究对象是定义在复平面上的函数，其变量和值都可以是复数。

首先，让我们来了解一下复变函数的基本概念。复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z = x + yi，其中x和y是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。复平面是一个二维平面，其中水平轴代表实部，垂直轴代表虚部。复变函数f(z)可以看作是从一个复平面向另一个复平面的映射。

接下来，我们来看一下复变函数的几种基本运算。加法和减法是最简单的运算，它们分别对应于复数的加法和减法。如果f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，g(z) = p(x, y) + iq(x, y)，那么：

f(z) ± g(z) = (u ± p) + i(v ± q)

乘法运算则是将两个复数相乘的结果作为新的复数。如果f(z)和g(z)是两个复变函数，则它们的乘积为：

f(z) × g(z) = (up - vq) + i(vp + uq)

除法运算需要特别注意分母不能为零的情况。当g(z) ≠ 0时，有：

f(z) / g(z) = [(up + vq) + i(vp - uq)] / (p² + q²)

此外，复变函数还有其他一些重要的性质，如共轭运算、模运算等。共轭运算将复数的虚部取反，而模运算则计算复数到原点的距离。

复变函数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在流体力学中，复变函数可以用来描述二维不可压缩流体的流动；在电场理论中，复变函数可以帮助分析电场分布。因此，掌握复变函数的基本概念和运算是非常重要的。