在学习《电动力学》这门课程时，课后习题的答案对于巩固知识和理解理论是非常重要的。以下是一些典型问题的答案解析，希望可以帮助大家更好地掌握这门学科的核心概念。
一、矢量分析基础
1. 问题：如何证明拉普拉斯算符在球坐标系中的表达式？
解答：首先，我们需要回顾标量函数在球坐标系下的梯度定义。设 \( f(r, \theta, \phi) \) 是一个标量场，则其梯度为：
\[
\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \phi} \hat{\phi}
\]
接下来，我们对这个梯度再次求导，得到拉普拉斯算符：
\[
\nabla^2 f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}
\]
二、电磁场的基本方程
2. 问题：麦克斯韦方程组中，为什么电场强度 \(\vec{E}\) 的旋度等于磁感应强度 \(\vec{B}\) 的时间变化率？
解答：根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场会产生涡旋电场。数学上，这一关系可以表示为：
\[
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\]
这一定律表明，当磁场随时间变化时，会在空间中激发出一个环形的电场，从而形成闭合的电力线。
三、电磁波传播
3. 问题：电磁波在真空中传播的速度是多少？它是如何决定的？
解答：电磁波在真空中的传播速度为光速 \( c \)，即 \( 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)。这个速度由真空中的介电常数 \(\epsilon_0\) 和磁导率 \(\mu_0\) 决定，具体关系为：
\[
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}
\]
这个公式反映了电磁波的传播特性与基本物理常数之间的内在联系。
通过以上几个例子，我们可以看到，《电动力学》不仅是一门理论性很强的学科，同时也需要我们在实践中不断验证和深化理解。希望大家能够利用这些课后答案，进一步提升自己的学术水平。
