在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅涉及到几何图形的理解，还与代数运算紧密相连。因此，在高考中，这部分内容常常成为考查的重点和难点。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，本文将整理一些历年高考中的经典题目，并提供详细的答案解析。
一、椭圆相关问题
题目1：
已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（其中 $a > b > 0$），其焦点位于 $(\pm c, 0)$。若该椭圆过点 $(3, 4)$，且离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
解析：
根据题意，椭圆的离心率公式为 $e = \frac{c}{a}$，且 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$。由已知条件 $e = \frac{\sqrt{5}}{5}$，可得：
$$
\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{\sqrt{5}}{5}.
$$
化简后得到：
$$
\sqrt{a^2 - b^2} = \frac{\sqrt{5}}{5}a.
$$
两边平方并整理得：
$$
a^2 - b^2 = \frac{1}{5}a^2.
$$
进一步化简为：
$$
b^2 = \frac{4}{5}a^2.
$$
又因为椭圆过点 $(3, 4)$，代入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 得：
$$
\frac{3^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1.
$$
将 $b^2 = \frac{4}{5}a^2$ 代入，解得 $a^2 = 25$，进而 $b^2 = 20$。因此，$a = 5$，$b = 2\sqrt{5}$。
二、双曲线相关问题
题目2：
已知双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线方程为 $y = \pm \frac{b}{a}x$。若该双曲线的焦距为 $10$，且经过点 $(6, 8)$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
解析：
双曲线的焦距公式为 $2c = 10$，即 $c = 5$。根据双曲线的性质，有 $c^2 = a^2 + b^2$。由此可得：
$$
a^2 + b^2 = 25.
$$
又因为双曲线经过点 $(6, 8)$，代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 得：
$$
\frac{6^2}{a^2} - \frac{8^2}{b^2} = 1.
$$
化简后得到：
$$
\frac{36}{a^2} - \frac{64}{b^2} = 1.
$$
联立两式，解得 $a^2 = 9$，$b^2 = 16$。因此，$a = 3$，$b = 4$。
三、抛物线相关问题
题目3：
已知抛物线的标准方程为 $y^2 = 2px$，其焦点为 $(p/2, 0)$。若该抛物线经过点 $(4, 8)$，求 $p$ 的值。
解析：
将点 $(4, 8)$ 代入抛物线方程 $y^2 = 2px$，得：
$$
8^2 = 2p \cdot 4.
$$
化简后得到：
$$
64 = 8p.
$$
解得 $p = 8$。
以上是关于圆锥曲线的一些典型题目及其详细解答。希望这些题目能够帮助大家巩固基础知识，提高解题能力。如果还有其他疑问，欢迎继续交流探讨！
