二次函数综合练习题

在初中数学的学习过程中，二次函数是一个非常重要的知识点，它不仅涉及代数运算，还与几何图形密切相关。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，下面将提供一些精选的练习题，供同学们巩固和提高。

练习题一：基本概念辨析

1. 下列哪个表达式是标准形式的二次函数？

A. $ y = x^2 + 3x - 5 $

B. $ y = \frac{1}{x} + 2x^2 $

C. $ y = x^3 - 4x^2 $

D. $ y = 2x + 7 $

解析：标准形式的二次函数应为 $ y = ax^2 + bx + c $ 的形式，其中 $ a \neq 0 $。因此正确答案为 A。

2. 若二次函数的图像开口向下，则系数 $ a $ 的取值范围是什么？

解析：当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。所以答案是 $ a < 0 $。

练习题二：顶点公式应用

已知二次函数 $ y = 2x^2 - 8x + 6 $，求其顶点坐标。

解析：利用顶点公式 $ x = -\frac{b}{2a} $ 和代入法可得：

$$

x = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2

$$

将 $ x = 2 $ 代入原方程得：

$$

y = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = -2

$$

因此顶点坐标为 $ (2, -2) $。

练习题三：实际问题建模

某商场销售一种商品，其月销量 $ Q $（单位：件）与售价 $ p $（单位：元）之间的关系满足二次函数模型：

$$

Q(p) = -10p^2 + 300p - 1500

$$

问：当售价定为多少时，月销量最大？最大销量是多少？

解析：首先确定二次函数的顶点公式：

$$

p = -\frac{b}{2a} = -\frac{300}{2(-10)} = 15

$$

此时对应的销量为：

$$

Q(15) = -10(15)^2 + 300(15) - 1500 = 1500

$$

因此，当售价为 15 元时，月销量达到最大值 1500 件。

通过以上题目，大家可以进一步熟悉二次函数的基本性质及其在实际问题中的应用。希望这些练习能够帮助大家提升解题能力！

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