在高中数学的学习过程中，函数是一个重要的模块，它贯穿了整个数学学科，并且是解决实际问题的重要工具。函数的概念、性质及其应用是高考考查的重点之一。本文将通过几个典型的题目来帮助同学们更好地理解和掌握函数的基本知识。
例题1：定义域与值域
已知函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} $，求其定义域和值域。
解析：
- 定义域：为了保证函数有意义，需要满足被开方数非负，即 $ x^2 - 4 \geq 0 $。解得 $ x \leq -2 $ 或 $ x \geq 2 $。因此，函数的定义域为 $ (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $。
- 值域：由于 $ x^2 - 4 \geq 0 $，所以 $ \sqrt{x^2 - 4} \geq 0 $。当 $ x = \pm 2 $ 时，$ f(x) = 0 $；当 $ |x| > 2 $ 时，随着 $ |x| $ 的增大，$ f(x) $ 也增大。因此，函数的值域为 $ [0, +\infty) $。
例题2：复合函数
设 $ g(x) = x^2 - 1 $，$ f(x) = 2x + 3 $，求复合函数 $ (f \circ g)(x) $ 及其定义域。
解析：
- 复合函数：根据复合函数的定义，$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 + 1 $。
- 定义域：因为 $ g(x) = x^2 - 1 $ 和 $ f(x) = 2x + 3 $ 的定义域均为全体实数，所以复合函数 $ (f \circ g)(x) $ 的定义域也为全体实数，即 $ (-\infty, +\infty) $。
例题3：分段函数
设函数 $ f(x) = \begin{cases}
x^2 - 2x + 1, & x < 0 \\
\ln(x+1), & x \geq 0
\end{cases} $，求 $ f(-1) $ 和 $ f(0) $。
解析：
- 当 $ x = -1 $ 时，$ f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 $。
- 当 $ x = 0 $ 时，$ f(0) = \ln(0+1) = \ln(1) = 0 $。
通过以上三个典型例题，我们可以看到函数问题涵盖了定义域、值域、复合函数以及分段函数等多个方面。希望这些题目能够帮助大家巩固基础知识，并提高解决问题的能力。继续关注后续的函数专题，我们将探讨更多有趣的函数问题！
