例1 设随机变量X的概率密度为
在概率论与数理统计的研究中,随机变量及其概率分布是一个核心概念。随机变量可以分为离散型和连续型两种类型,而连续型随机变量通常通过其概率密度函数来描述其取值的可能性。
假设一个随机变量\( X \)的概率密度函数为 \( f(x) = k \cdot e^{-ax} \),其中 \( x > 0 \),且 \( a > 0 \)。这里,\( k \) 是一个待定常数,用于确保概率密度函数满足归一化条件,即在整个定义域上的积分等于1。
为了确定 \( k \) 的具体值,我们需要对 \( f(x) \) 进行归一化处理。具体地,我们计算如下积分:
\[
\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{-ax} \, dx = 1
\]
通过换元法或直接使用指数函数的积分公式,我们可以得到:
\[
k \cdot \left[ -\frac{1}{a} e^{-ax} \right]_{0}^{\infty} = 1
\]
进一步简化后可得:
\[
k \cdot \frac{1}{a} = 1
\]
因此,\( k = a \)。
由此可知,随机变量 \( X \) 的概率密度函数为:
\[
f(x) = a \cdot e^{-ax}, \quad x > 0
\]
这种形式的概率密度函数常见于描述某些物理过程中的衰减现象,例如放射性物质的衰变时间或电子器件的寿命等。通过对该函数的深入分析,我们可以进一步探讨随机变量 \( X \) 的期望值、方差以及其他统计特性。
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