例1 设随机变量X的概率密度为

在概率论与数理统计的研究中，随机变量及其概率分布是一个核心概念。随机变量可以分为离散型和连续型两种类型，而连续型随机变量通常通过其概率密度函数来描述其取值的可能性。

假设一个随机变量\( X \)的概率密度函数为 \( f(x) = k \cdot e^{-ax} \)，其中 \( x > 0 \)，且 \( a > 0 \)。这里，\( k \) 是一个待定常数，用于确保概率密度函数满足归一化条件，即在整个定义域上的积分等于1。

为了确定 \( k \) 的具体值，我们需要对 \( f(x) \) 进行归一化处理。具体地，我们计算如下积分：

\[

\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{-ax} \, dx = 1

\]

通过换元法或直接使用指数函数的积分公式，我们可以得到：

\[

k \cdot \left[ -\frac{1}{a} e^{-ax} \right]_{0}^{\infty} = 1

\]

进一步简化后可得：

\[

k \cdot \frac{1}{a} = 1

\]

因此，\( k = a \)。

由此可知，随机变量 \( X \) 的概率密度函数为：

\[

f(x) = a \cdot e^{-ax}, \quad x > 0

\]

这种形式的概率密度函数常见于描述某些物理过程中的衰减现象，例如放射性物质的衰变时间或电子器件的寿命等。通过对该函数的深入分析，我们可以进一步探讨随机变量 \( X \) 的期望值、方差以及其他统计特性。

希望这段内容符合您的需求！如果有其他问题，请随时告知。